Он родился недалеко от современного Зеленограда, в деревне Бусиново Химкинского района. Окончив семь классов, поступил работать на Московский авиационный завод. В ноябре 1941 год окончил танковое училище и ушел на фронт.

Сражался под Ржевом в должности командира танка. В 1944 году принял командование самоходной артиллерийской установкой (САУ). Участвовал в освобождении Румынии. Отличился в боях за освобождение Венгрии весной 1945 года. В наградном представлении от мая 1945 года записано: «В период боёв самоходной установкой гвардии лейтенанта Елагина уничтожено: 6 танков, 3 самоходных орудия, 4 бронетранспортёра, 4 полевых орудия, 6 пулемётов и до роты пехоты противника».

В мае 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая звезда». После войны жил и работал в Москве, а в 1969 году переехал в молодой строящийся город Зеленоград. Ушёл из жизни 31 января 1992 года, накануне 70-летнего юбилея.

В декабре 2002 года на стене корпуса 504 открыта памятная доска. Найти её непросто — она расположена не возле подъезда, а на углу фасада и с улицы почти полностью закрыта зеленью